时间复杂度计算

要求算法的时间复杂度时，我们可以分析给定表达式 $\frac{100n!}{n^{100}}$ 的阶。让我们来逐步分析：

分析阶的定义：

当我们说一个表达式的时间复杂度是 ( O(g(n)) )，我们指的是当 ( n ) 趋近无穷大时，表达式的增长率与 ( g(n) ) 的增长率相似。通常，我们用大 O 符号来描述算法的渐进时间复杂度。
给定表达式的分析：

$\frac{100n!}{n^{100}}$ 可以简化为 $100 \cdot \frac{n!}{n^{100}}$ 。
对 $\frac{n!}{n^{100}}$ 的分析：

n! 表示 n 的阶乘，即 $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1$ 。

$n^{100}$ 是 n 的 100 次方。

随着 n 的增长， n! 的增长速度非常快，远远超过 $n^{100}$ 的增长速度。因此， $\frac{n!}{n^{100}}$ 随 n 的增加而增长。
对 $100 \cdot \frac{n!}{n^{100}}$ 的分析：

$100 \cdot \frac{n!}{n^{100}}$ 的时间复杂度与 $\frac{n!}{n^{100}}$ 的时间复杂度是一样的，因为常数系数对于大 O 表示法不影响最终的阶。
最终时间复杂度的确定：

综上所述， $\frac{100n!}{n^{100}}$ 的时间复杂度可以近似地表示为 O(n!) ，因为 $\frac{n!}{n^{100}}$ 的增长率与 n! 的增长率相同，都是阶乘增长。

因此， $\frac{100n!}{n^{100}}$ 的时间复杂度是 O(n!) 。

要确定表达式 $\frac{1 + 2n + 3n^2}{n^3 + 2n^2 + 3n + 4} \times \log n$ 的时间复杂度，我们需要分析它的增长率随着 (n) 的变化。

首先，我们来简化表达式的分子和分母的主导项：

分子 $1 + 2n + 3n^2$ 的主导项是 $3n^2$ 。
分母 $n^3 + 2n^2 + 3n + 4$ 的主导项是 $n^3$ 。

因此，随着 (n) 的增大，分子和分母的主导项分别是 $3n^2$ 和 $n^3$ 。

现在考虑整个表达式 $\frac{1 + 2n + 3n^2}{n^3 + 2n^2 + 3n + 4} \times \log n$ 的时间复杂度。我们可以将它分解成两个部分：

$\frac{1 + 2n + 3n^2}{n^3 + 2n^2 + 3n + 4}$
$\log n$

分析第一部分 $\frac{1 + 2n + 3n^2}{n^3 + 2n^2 + 3n + 4}$ 的增长率：

当 n很大时，主导项 $3n^2$ 在分子， $n^3$ 在分母。因此，这个比例的值趋近于 $\frac{3n^2}{n^3} = \frac{3}{n}$ 。这表明这部分随着 n的增加而减小。

第二部分 $\log n$ 的增长率是 $O(\log n)$ ，即增长速度相对较慢。

将这两部分结合起来，整体的时间复杂度由第一部分和第二部分共同决定。但由于第一部分 $\frac{1 + 2n + 3n^2}{n^3 + 2n^2 + 3n + 4}$ 的增长率是 $O\left(\frac{1}{n}\right)$ ，而第二部分是 $O(\log n)$ ，所以整体来看，主导的增长率是由第一部分决定的。